Die Mathematischen Probleme von David Hilbert

Hilberts Mathematische Probleme

Im Jahre 1900 hielt DAVID HILBERT beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris seine berühmte Rede, in der er 23 mathematische Probleme vorstellte. Diese Probleme sind zum Teil gelöst, und einige sind modifiziert oder verallgemeinert worden. Sie bilden auch nach dem Jahr 2000 noch wichtige Forschungsbereiche der Mathematik.

Hilberts Rede Mathematische Probleme erschien in den Göttinger Nachrichten 1900, S.253-297, und im Archiv der Mathematik und Physik 1901. Sie wurde ins Englische, Französische und später auch in andere Sprachen übersetzt. Eine Sammlung der Hilbertschen Probleme wurde 1969 von P.Alexandroff herausgegeben, die danach ins Deutsche übersetzt wurde.

Die Amerikanische Mathematische Gesellschaft gab 1976 ein viel beachtetes Buch heraus mit dem Titel Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems.

Literatur im Jahre 2000:
Ivor Grattan-Guinness. A Sideways Look at Hilbert's Twenty-three Problems of 1900 (pdf). Notices of the AMS, 47.
Jeremy J.Gray. We must know, we shall know; a History of the Hilbert Problems, European Math. Society: Newsletter 36, and Oxford Univ. Press.

Hilberts Rede 1900 in Paris (ps, pdf)

Biographische Angaben über Hilbert
Geschichten der Familien Arnoldt und Hilbert sind 2001 als Buch erschienen.

Problem 1 Cantor's Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums. Cohen 1963/64: Die Kontinuums-Hypothese ist formal unentscheidbar in der Zermelo-Fraenkel-Theorie.

Problem 2 Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome.

Problem 3 Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe. Gelöst von Dehn 1902.

Problem 4 Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte.

Problem 5 Lie's Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen.

Problem 6 Mathematische Behandlung der Axiome der Physik.

Problem 7 Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen. Gelfond-Schneider 1934, Baker 1966.

Problem 8 Primzahlprobleme. Primzahlverteilung und die Riemannsche Vermutung.

Problem 9 Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper. Vgl. Klassenkörpertheorie (Hilbert, Takagi, Artin und andere), Normrestsymbole (Shafarevich 1950) und weitere Entwicklungen wie z.B. in algebraischer K-Theorie.

Problem 10 Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung. Negativ beantwortet durch Matiyasevich 1970.

Problem 11 Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlenkoeffizienten. Hasse-Prinzip 1923/24; arithmetische and algebraische Theorie der quadratischen Formen.

Problem 12 Ausdehnung des Kronekerschen Satzes über Abelsche Körper auf einen beliebigen algebraischen Rationalitätsbereich.

Problem 13 Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7ten Grades mittelst Funktionen von nur 2 Argumenten.

Problem 14 Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme. Gegenbeispiel von Nagata 1958.

Problem 15 Strenge Begründung von Schuberts Abzählungskalkül.

Problem 16 Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen.

Problem 17 Darstellung definiter Formen durch Quadrate. Gelöst von Artin 1927.

Problem 18 Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern. Krystallographische Gruppen, Fundamentalbereiche, Kugelpackungsproblem.

Problem 19 Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?

Problem 20 Allgemeines Randwertproblem.

Problem 21 Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe.

Problem 22 Uniformisierung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Funktionen.

Problem 23 Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung.

Problem 1	Cantor's Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums.	Cohen 1963/64: Die Kontinuums-Hypothese ist formal unentscheidbar in der Zermelo-Fraenkel-Theorie.
Problem 2	Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome.
Problem 3	Die Volumengleichheit zweier Tetraeder von gleicher Grundfläche und Höhe.	Gelöst von Dehn 1902.
Problem 4	Problem von der Geraden als kürzester Verbindung zweier Punkte.
Problem 5	Lie's Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen.
Problem 6	Mathematische Behandlung der Axiome der Physik.
Problem 7	Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen.	Gelfond-Schneider 1934, Baker 1966.
Problem 8	Primzahlprobleme.	Primzahlverteilung und die Riemannsche Vermutung.
Problem 9	Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper.	Vgl. Klassenkörpertheorie (Hilbert, Takagi, Artin und andere), Normrestsymbole (Shafarevich 1950) und weitere Entwicklungen wie z.B. in algebraischer K-Theorie.
Problem 10	Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung.	Negativ beantwortet durch Matiyasevich 1970.
Problem 11	Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlenkoeffizienten.	Hasse-Prinzip 1923/24; arithmetische and algebraische Theorie der quadratischen Formen.
Problem 12	Ausdehnung des Kronekerschen Satzes über Abelsche Körper auf einen beliebigen algebraischen Rationalitätsbereich.
Problem 13	Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Gleichung 7ten Grades mittelst Funktionen von nur 2 Argumenten.
Problem 14	Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Funktionensysteme.	Gegenbeispiel von Nagata 1958.
Problem 15	Strenge Begründung von Schuberts Abzählungskalkül.
Problem 16	Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen.
Problem 17	Darstellung definiter Formen durch Quadrate.	Gelöst von Artin 1927.
Problem 18	Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern.	Krystallographische Gruppen, Fundamentalbereiche, Kugelpackungsproblem.
Problem 19	Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?
Problem 20	Allgemeines Randwertproblem.
Problem 21	Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe.
Problem 22	Uniformisierung analytischer Beziehungen mittelst automorpher Funktionen.
Problem 23	Weiterführung der Methoden der Variationsrechnung.

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