Aufgabenblatt 14

aktualisiert: 11. Oktober 2001

Aufgabe 1

Laura bastelt gerne außergewöhnliche Mikadospiele. So ein Mikadospiel besteht aus 37 Stäbchen, die jedoch nicht alle dieselbe Länge haben müssen, insbesondere können die Längen auch sehr klein oder sehr, sehr groß sein. (Außerdem kann jedes Spiel anders aussehen!) Laura behauptet nun: ,,Egal wie ich die Stäbe zurechtschneide, in jedem Spiel kann ich drei finden, die ich zu einem Dreieck zusammenlegen kann.``

Kannst du Lauras Aussage bestätigen, oder irrt sie sich da?

Aufgabe 2

Herr Schluckspecht ist wieder auf Kneipentour. Nach einem feucht-fröhlichen Beginn im Kummerstübchen macht er sich (mit konstanter Geschwindigkeit) auf den Weg zum Dorfkrug. Zur gleichen Zeit bricht Herr Suffkopp vom Dorfkrug in Richtung Kummerstübchen auf. Als sie sich treffen, sagt Herr Schluckspecht (wahrheitsgemäß): ,,Ich bin 200 m weiter gegangen als du!``
Es folgt eine engagierte Diskussion ...
Danach gehen sie verstimmt weiter, wegen leichter Blessuren aber jeweils mit halber Geschwindigkeit. Herr Schluckspecht braucht noch 8 min bis zum Dorfkrug, Herr Suffkopp noch 18 min bis zum Kummerstübchen.

Wie weit sind die beiden Kneipen voneinander entfernt?

Aufgabe 3

Für die ersten natürlichen Zahlen gilt:

0	= - 1² - 2² + 3² - 4² + 5² + 6² - 7²
1	= + 1²
2	= - 1² - 2² - 3² + 4²
3	= - 1² + 2²
4	= - 1² - 2² + 3².

Lassen sich alle natürlichen Zahlen in der Form ±1²±2²±3²±...±m² darstellen?

Aufgabe 4

Wähle dir zwei beliebige natürliche Zahlen m und n. Zeichne dann auf kariertes Papier ein Rechteck, das genau m Kästchen lang und n Kästchen breit ist.
Jetzt versuche einen geschlossenen Weg entlang der Kästchenkanten ohne Überschneidungen zu finden, der jeden Gitterpunkt im Inneren und auf dem Rand des Rechtecks genau einmal berührt. In der Abbildung ist ein Beispielweg für ein Rechteck mit m = 8 und n = 5 dargestellt.

$\includegraphics[height = 4cm]{karolaby.eps}$

Wenn du das für verschiedene Werte m und n mehrfach probiert hast, wirst du vielleicht feststellen, dass es manchmal mehrere Möglichkeiten gibt, einen solchen Weg zu finden, manchmal aber auch gar keine. Untersuche, wie das mit der Wahl von m und n zusammenhängt, und versuche, deine Vermutung zu beweisen.
Falls es für festes m und n einen solchen Streckenzug gibt, dann schließt dieser einen Teil des Rechteckes ein (da der Streckenzug ja geschlossen ist). Untersuche, wie sich die Anzahl der Kästchen im Inneren ändert, wenn man bei ein und demselben Rechteck verschiedene Streckenzüge betrachtet. Kannst du deine Vermutung begründen?

Einsendetermin ist der 12. November 2001

Mathematisches Institut
Mathematischer Korrespondenzzirkel
Bunsenstraße 3-5, 37073 Göttingen

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