Beispiellösungen zu Aufgabenblatt 66 – Trigonometrische Lösung zu Aufgabe 4

aktualisiert: 14. Januar 2008

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Trigonometrische Lösung zu Aufgabe 4 von Blatt 66

Aufgabe 4


Ein regelmäßiges Sechseck ,,rollt`` entlang einer Geraden, indem es fortlaufend über die rechte der beiden auf der Geraden liegenden Ecken gekippt wird. Zu Beginn ist die Position der linken unteren Ecke des Sechsecks markiert. Nach jeder Kippung wird wieder die Position dieser Ecke markiert. Nach fünf solcher Kippungen berührt die betrachtete Ecke zum ersten Mal wieder die Gerade.

\includegraphics[width=10cm]{sechseck}

Zeige, dass das Flächenstück, das durch die markierten Punkte und die Gerade begrenzt ist, genau dreimal so groß ist wie die Fläche des Sechsecks.

Wie ist das Verhältnis der entsprechenden Flächen bei anderen regelmäßigen n-Ecken?


Alternativlösung:


Als Ergänzung zu der in den Beispiellösungen vorgeführten elementargeometrischen Lösung geben wir hier unter Verwendung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus einen Beweis dafür, dass im allgemeinen Fall gilt:


Für jedes regelmäßige n-Eck ist die sich ergebende Figur genau dreimal so groß wie das n-Eck.

Da die Lösung sehr viele Formeln und einige schwer zu konvertierende Elemente enthält, ist es nicht sinnvoll, sie in HTML-Form anzubieten. Wir verweisen auf die ps- oder pdf-Version zum Herunterladen.

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